3.584 \(\int \sqrt{d+i c d x} (f-i c f x)^{5/2} (a+b \sinh ^{-1}(c x))^2 \, dx\)

Optimal. Leaf size=680 \[ \frac{b c^3 f^2 x^4 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{8 \sqrt{c^2 x^2+1}}-\frac{1}{4} c^2 f^2 x^3 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2+\frac{4 i b c^2 f^2 x^3 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{9 \sqrt{c^2 x^2+1}}-\frac{3 b c f^2 x^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{8 \sqrt{c^2 x^2+1}}+\frac{4 i b f^2 x \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{3 \sqrt{c^2 x^2+1}}+\frac{5 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^3}{24 b c \sqrt{c^2 x^2+1}}-\frac{2 i f^2 \left (c^2 x^2+1\right ) \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2}{3 c}+\frac{3}{8} f^2 x \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2-\frac{1}{32} b^2 c^2 f^2 x^3 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}-\frac{4 i b^2 f^2 \left (c^2 x^2+1\right ) \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}}{27 c}-\frac{15 b^2 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \sinh ^{-1}(c x)}{64 c \sqrt{c^2 x^2+1}}+\frac{15}{64} b^2 f^2 x \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}-\frac{8 i b^2 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}}{9 c} \]

[Out]

(((-8*I)/9)*b^2*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/c + (15*b^2*f^2*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]
)/64 - (b^2*c^2*f^2*x^3*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/32 - (((4*I)/27)*b^2*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f
- I*c*f*x]*(1 + c^2*x^2))/c - (15*b^2*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*ArcSinh[c*x])/(64*c*Sqrt[1 + c^
2*x^2]) + (((4*I)/3)*b*f^2*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (3*
b*c*f^2*x^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (((4*I)/9)*b*c^2
*f^2*x^3*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (b*c^3*f^2*x^4*Sqrt[d +
I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3*f^2*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f -
I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/8 - (c^2*f^2*x^3*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/
4 - (((2*I)/3)*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/c + (5*f^2*Sqrt[d
+ I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(24*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.0629, antiderivative size = 680, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 23, number of rules used = 13, integrand size = 37, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.351, Rules used = {5712, 5821, 5682, 5675, 5661, 321, 215, 5717, 5679, 444, 43, 5742, 5758} \[ \frac{b c^3 f^2 x^4 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{8 \sqrt{c^2 x^2+1}}-\frac{1}{4} c^2 f^2 x^3 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2+\frac{4 i b c^2 f^2 x^3 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{9 \sqrt{c^2 x^2+1}}-\frac{3 b c f^2 x^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{8 \sqrt{c^2 x^2+1}}+\frac{4 i b f^2 x \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{3 \sqrt{c^2 x^2+1}}+\frac{5 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^3}{24 b c \sqrt{c^2 x^2+1}}-\frac{2 i f^2 \left (c^2 x^2+1\right ) \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2}{3 c}+\frac{3}{8} f^2 x \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2-\frac{1}{32} b^2 c^2 f^2 x^3 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}-\frac{4 i b^2 f^2 \left (c^2 x^2+1\right ) \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}}{27 c}-\frac{15 b^2 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \sinh ^{-1}(c x)}{64 c \sqrt{c^2 x^2+1}}+\frac{15}{64} b^2 f^2 x \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}-\frac{8 i b^2 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}}{9 c} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sqrt[d + I*c*d*x]*(f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2,x]

[Out]

(((-8*I)/9)*b^2*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/c + (15*b^2*f^2*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]
)/64 - (b^2*c^2*f^2*x^3*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x])/32 - (((4*I)/27)*b^2*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f
- I*c*f*x]*(1 + c^2*x^2))/c - (15*b^2*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*ArcSinh[c*x])/(64*c*Sqrt[1 + c^
2*x^2]) + (((4*I)/3)*b*f^2*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[1 + c^2*x^2] - (3*
b*c*f^2*x^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (((4*I)/9)*b*c^2
*f^2*x^3*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/Sqrt[1 + c^2*x^2] + (b*c^3*f^2*x^4*Sqrt[d +
I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x]))/(8*Sqrt[1 + c^2*x^2]) + (3*f^2*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f -
I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/8 - (c^2*f^2*x^3*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/
4 - (((2*I)/3)*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(1 + c^2*x^2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2)/c + (5*f^2*Sqrt[d
+ I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*(a + b*ArcSinh[c*x])^3)/(24*b*c*Sqrt[1 + c^2*x^2])

Rule 5712

Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_) + (e_.)*(x_))^(p_)*((f_) + (g_.)*(x_))^(q_), x_Symbol] :>
Dist[((d + e*x)^q*(f + g*x)^q)/(1 + c^2*x^2)^q, Int[(d + e*x)^(p - q)*(1 + c^2*x^2)^q*(a + b*ArcSinh[c*x])^n,
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && EqQ[e*f + d*g, 0] && EqQ[c^2*d^2 + e^2, 0] && HalfIntegerQ[p,
q] && GeQ[p - q, 0]

Rule 5821

Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_) + (g_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol]
:> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x^2)^p*(a + b*ArcSinh[c*x])^n, (f + g*x)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g
}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[m, 0] && IntegerQ[p + 1/2] && GtQ[d, 0] && IGtQ[n, 0] && ((EqQ[n, 1] && GtQ[p,
-1]) || GtQ[p, 0] || EqQ[m, 1] || (EqQ[m, 2] && LtQ[p, -2]))

Rule 5682

Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(x*Sqrt[d + e*x^2]*
(a + b*ArcSinh[c*x])^n)/2, x] + (Dist[Sqrt[d + e*x^2]/(2*Sqrt[1 + c^2*x^2]), Int[(a + b*ArcSinh[c*x])^n/Sqrt[1
+ c^2*x^2], x], x] - Dist[(b*c*n*Sqrt[d + e*x^2])/(2*Sqrt[1 + c^2*x^2]), Int[x*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1),
x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[n, 0]

Rule 5675

Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(a + b*ArcSinh[c*x]
)^(n + 1)/(b*c*Sqrt[d]*(n + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[d, 0] && NeQ[n, -1
]

Rule 5661

Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((d*x)^(m + 1)*(a + b*ArcS
inh[c*x])^n)/(d*(m + 1)), x] - Dist[(b*c*n)/(d*(m + 1)), Int[((d*x)^(m + 1)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1))/Sqrt
[1 + c^2*x^2], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0] && NeQ[m, -1]

Rule 321

Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n
)^(p + 1))/(b*(m + n*p + 1)), x] - Dist[(a*c^n*(m - n + 1))/(b*(m + n*p + 1)), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p
, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, n - 1] && NeQ[m + n*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b,
c, n, m, p, x]

Rule 215

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[ArcSinh[(Rt[b, 2]*x)/Sqrt[a]]/Rt[b, 2], x] /; FreeQ[{a, b},
x] && GtQ[a, 0] && PosQ[b]

Rule 5717

Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[((d + e*x^2)
^(p + 1)*(a + b*ArcSinh[c*x])^n)/(2*e*(p + 1)), x] - Dist[(b*n*d^IntPart[p]*(d + e*x^2)^FracPart[p])/(2*c*(p +
1)*(1 + c^2*x^2)^FracPart[p]), Int[(1 + c^2*x^2)^(p + 1/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e, p}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[n, 0] && NeQ[p, -1]

Rule 5679

Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u = IntHide[(d + e*x^2
)^p, x]}, Dist[a + b*ArcSinh[c*x], u, x] - Dist[b*c, Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[1 + c^2*x^2], x], x], x]] /;
FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[e, c^2*d] && IGtQ[p, 0]

Rule 444

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int
[(a + b*x)^p*(c + d*x)^q, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[m
- n + 1, 0]

Rule 43

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])

Rule 5742

Int[((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_)*Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp[(
(f*x)^(m + 1)*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n)/(f*(m + 2)), x] + (Dist[Sqrt[d + e*x^2]/((m + 2)*Sqrt[1
+ c^2*x^2]), Int[((f*x)^m*(a + b*ArcSinh[c*x])^n)/Sqrt[1 + c^2*x^2], x], x] - Dist[(b*c*n*Sqrt[d + e*x^2])/(f*
(m + 2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]), Int[(f*x)^(m + 1)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f
, m}, x] && EqQ[e, c^2*d] && GtQ[n, 0] &&  !LtQ[m, -1] && (RationalQ[m] || EqQ[n, 1])

Rule 5758

Int[(((a_.) + ArcSinh[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_.)*((f_.)*(x_))^(m_))/Sqrt[(d_) + (e_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Simp
[(f*(f*x)^(m - 1)*Sqrt[d + e*x^2]*(a + b*ArcSinh[c*x])^n)/(e*m), x] + (-Dist[(f^2*(m - 1))/(c^2*m), Int[((f*x)
^(m - 2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^n)/Sqrt[d + e*x^2], x], x] - Dist[(b*f*n*Sqrt[1 + c^2*x^2])/(c*m*Sqrt[d + e*x^2]
), Int[(f*x)^(m - 1)*(a + b*ArcSinh[c*x])^(n - 1), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[e, c^2*d] &&
GtQ[n, 0] && GtQ[m, 1] && IntegerQ[m]

Rubi steps

\begin{align*} \int \sqrt{d+i c d x} (f-i c f x)^{5/2} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2 \, dx &=\frac{\left (\sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int (f-i c f x)^2 \sqrt{1+c^2 x^2} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2 \, dx}{\sqrt{1+c^2 x^2}}\\ &=\frac{\left (\sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int \left (f^2 \sqrt{1+c^2 x^2} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2-2 i c f^2 x \sqrt{1+c^2 x^2} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2-c^2 f^2 x^2 \sqrt{1+c^2 x^2} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2\right ) \, dx}{\sqrt{1+c^2 x^2}}\\ &=\frac{\left (f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int \sqrt{1+c^2 x^2} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2 \, dx}{\sqrt{1+c^2 x^2}}-\frac{\left (2 i c f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int x \sqrt{1+c^2 x^2} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2 \, dx}{\sqrt{1+c^2 x^2}}-\frac{\left (c^2 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int x^2 \sqrt{1+c^2 x^2} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2 \, dx}{\sqrt{1+c^2 x^2}}\\ &=\frac{1}{2} f^2 x \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2-\frac{1}{4} c^2 f^2 x^3 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2-\frac{2 i f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (1+c^2 x^2\right ) \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2}{3 c}+\frac{\left (f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int \frac{\left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2}{\sqrt{1+c^2 x^2}} \, dx}{2 \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{\left (4 i b f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int \left (1+c^2 x^2\right ) \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right ) \, dx}{3 \sqrt{1+c^2 x^2}}-\frac{\left (b c f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int x \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right ) \, dx}{\sqrt{1+c^2 x^2}}-\frac{\left (c^2 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int \frac{x^2 \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2}{\sqrt{1+c^2 x^2}} \, dx}{4 \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{\left (b c^3 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int x^3 \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right ) \, dx}{2 \sqrt{1+c^2 x^2}}\\ &=\frac{4 i b f^2 x \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{3 \sqrt{1+c^2 x^2}}-\frac{b c f^2 x^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{2 \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{4 i b c^2 f^2 x^3 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{9 \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{b c^3 f^2 x^4 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{8 \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{3}{8} f^2 x \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2-\frac{1}{4} c^2 f^2 x^3 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2-\frac{2 i f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (1+c^2 x^2\right ) \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2}{3 c}+\frac{f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^3}{6 b c \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{\left (f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int \frac{\left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2}{\sqrt{1+c^2 x^2}} \, dx}{8 \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{\left (b c f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int x \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right ) \, dx}{4 \sqrt{1+c^2 x^2}}-\frac{\left (4 i b^2 c f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int \frac{x \left (1+\frac{c^2 x^2}{3}\right )}{\sqrt{1+c^2 x^2}} \, dx}{3 \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{\left (b^2 c^2 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int \frac{x^2}{\sqrt{1+c^2 x^2}} \, dx}{2 \sqrt{1+c^2 x^2}}-\frac{\left (b^2 c^4 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int \frac{x^4}{\sqrt{1+c^2 x^2}} \, dx}{8 \sqrt{1+c^2 x^2}}\\ &=\frac{1}{4} b^2 f^2 x \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}-\frac{1}{32} b^2 c^2 f^2 x^3 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}+\frac{4 i b f^2 x \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{3 \sqrt{1+c^2 x^2}}-\frac{3 b c f^2 x^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{8 \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{4 i b c^2 f^2 x^3 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{9 \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{b c^3 f^2 x^4 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{8 \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{3}{8} f^2 x \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2-\frac{1}{4} c^2 f^2 x^3 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2-\frac{2 i f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (1+c^2 x^2\right ) \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2}{3 c}+\frac{5 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^3}{24 b c \sqrt{1+c^2 x^2}}-\frac{\left (b^2 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int \frac{1}{\sqrt{1+c^2 x^2}} \, dx}{4 \sqrt{1+c^2 x^2}}-\frac{\left (2 i b^2 c f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1+\frac{c^2 x}{3}}{\sqrt{1+c^2 x}} \, dx,x,x^2\right )}{3 \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{\left (3 b^2 c^2 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int \frac{x^2}{\sqrt{1+c^2 x^2}} \, dx}{32 \sqrt{1+c^2 x^2}}-\frac{\left (b^2 c^2 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int \frac{x^2}{\sqrt{1+c^2 x^2}} \, dx}{8 \sqrt{1+c^2 x^2}}\\ &=\frac{15}{64} b^2 f^2 x \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}-\frac{1}{32} b^2 c^2 f^2 x^3 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}-\frac{b^2 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \sinh ^{-1}(c x)}{4 c \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{4 i b f^2 x \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{3 \sqrt{1+c^2 x^2}}-\frac{3 b c f^2 x^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{8 \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{4 i b c^2 f^2 x^3 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{9 \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{b c^3 f^2 x^4 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{8 \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{3}{8} f^2 x \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2-\frac{1}{4} c^2 f^2 x^3 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2-\frac{2 i f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (1+c^2 x^2\right ) \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2}{3 c}+\frac{5 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^3}{24 b c \sqrt{1+c^2 x^2}}-\frac{\left (3 b^2 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int \frac{1}{\sqrt{1+c^2 x^2}} \, dx}{64 \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{\left (b^2 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \int \frac{1}{\sqrt{1+c^2 x^2}} \, dx}{16 \sqrt{1+c^2 x^2}}-\frac{\left (2 i b^2 c f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \left (\frac{2}{3 \sqrt{1+c^2 x}}+\frac{1}{3} \sqrt{1+c^2 x}\right ) \, dx,x,x^2\right )}{3 \sqrt{1+c^2 x^2}}\\ &=-\frac{8 i b^2 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}}{9 c}+\frac{15}{64} b^2 f^2 x \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}-\frac{1}{32} b^2 c^2 f^2 x^3 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x}-\frac{4 i b^2 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (1+c^2 x^2\right )}{27 c}-\frac{15 b^2 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \sinh ^{-1}(c x)}{64 c \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{4 i b f^2 x \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{3 \sqrt{1+c^2 x^2}}-\frac{3 b c f^2 x^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{8 \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{4 i b c^2 f^2 x^3 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{9 \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{b c^3 f^2 x^4 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )}{8 \sqrt{1+c^2 x^2}}+\frac{3}{8} f^2 x \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2-\frac{1}{4} c^2 f^2 x^3 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2-\frac{2 i f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (1+c^2 x^2\right ) \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^2}{3 c}+\frac{5 f^2 \sqrt{d+i c d x} \sqrt{f-i c f x} \left (a+b \sinh ^{-1}(c x)\right )^3}{24 b c \sqrt{1+c^2 x^2}}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 2.36589, size = 890, normalized size = 1.31 \[ \frac{-1728 a^2 c^3 f^2 \sqrt{i c x d+d} \sqrt{f-i c f x} \sqrt{c^2 x^2+1} x^3-4608 i a^2 c^2 f^2 \sqrt{i c x d+d} \sqrt{f-i c f x} \sqrt{c^2 x^2+1} x^2+6912 i a b c f^2 \sqrt{i c x d+d} \sqrt{f-i c f x} x+2592 a^2 c f^2 \sqrt{i c x d+d} \sqrt{f-i c f x} \sqrt{c^2 x^2+1} x+1440 b^2 f^2 \sqrt{i c x d+d} \sqrt{f-i c f x} \sinh ^{-1}(c x)^3-1728 a b f^2 \sqrt{i c x d+d} \sqrt{f-i c f x} \cosh \left (2 \sinh ^{-1}(c x)\right )-256 i b^2 f^2 \sqrt{i c x d+d} \sqrt{f-i c f x} \cosh \left (3 \sinh ^{-1}(c x)\right )+108 a b f^2 \sqrt{i c x d+d} \sqrt{f-i c f x} \cosh \left (4 \sinh ^{-1}(c x)\right )+4320 a^2 \sqrt{d} f^{5/2} \sqrt{c^2 x^2+1} \log \left (c d f x+\sqrt{d} \sqrt{f} \sqrt{i c x d+d} \sqrt{f-i c f x}\right )+864 b^2 f^2 \sqrt{i c x d+d} \sqrt{f-i c f x} \sinh \left (2 \sinh ^{-1}(c x)\right )+768 i a b f^2 \sqrt{i c x d+d} \sqrt{f-i c f x} \sinh \left (3 \sinh ^{-1}(c x)\right )-27 b^2 f^2 \sqrt{i c x d+d} \sqrt{f-i c f x} \sinh \left (4 \sinh ^{-1}(c x)\right )+12 b f^2 \sqrt{i c x d+d} \sqrt{f-i c f x} \sinh ^{-1}(c x) \left (-192 i \cosh \left (3 \sinh ^{-1}(c x)\right ) a+288 \sinh \left (2 \sinh ^{-1}(c x)\right ) a-36 \sinh \left (4 \sinh ^{-1}(c x)\right ) a-576 i \sqrt{c^2 x^2+1} a+576 i b c x-144 b \cosh \left (2 \sinh ^{-1}(c x)\right )+9 b \cosh \left (4 \sinh ^{-1}(c x)\right )+64 i b \sinh \left (3 \sinh ^{-1}(c x)\right )\right )+72 b f^2 \sqrt{i c x d+d} \sqrt{f-i c f x} \sinh ^{-1}(c x)^2 \left (60 a-16 i b \cosh \left (3 \sinh ^{-1}(c x)\right )+24 b \sinh \left (2 \sinh ^{-1}(c x)\right )-3 b \sinh \left (4 \sinh ^{-1}(c x)\right )-48 i b \sqrt{c^2 x^2+1}\right )-4608 i a^2 f^2 \sqrt{i c x d+d} \sqrt{f-i c f x} \sqrt{c^2 x^2+1}-6912 i b^2 f^2 \sqrt{i c x d+d} \sqrt{f-i c f x} \sqrt{c^2 x^2+1}}{6912 c \sqrt{c^2 x^2+1}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Sqrt[d + I*c*d*x]*(f - I*c*f*x)^(5/2)*(a + b*ArcSinh[c*x])^2,x]

[Out]

((6912*I)*a*b*c*f^2*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x] - (4608*I)*a^2*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*
x]*Sqrt[1 + c^2*x^2] - (6912*I)*b^2*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2] + 2592*a^2*c*f^2
*x*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2] - (4608*I)*a^2*c^2*f^2*x^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f -
I*c*f*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2] - 1728*a^2*c^3*f^2*x^3*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*Sqrt[1 + c^2*x^2] + 144
0*b^2*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*ArcSinh[c*x]^3 - 1728*a*b*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x
]*Cosh[2*ArcSinh[c*x]] - (256*I)*b^2*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*Cosh[3*ArcSinh[c*x]] + 108*a*b*f^
2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*Cosh[4*ArcSinh[c*x]] + 4320*a^2*Sqrt[d]*f^(5/2)*Sqrt[1 + c^2*x^2]*Log[c*
d*f*x + Sqrt[d]*Sqrt[f]*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]] + 864*b^2*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]
*Sinh[2*ArcSinh[c*x]] + (768*I)*a*b*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*Sinh[3*ArcSinh[c*x]] - 27*b^2*f^2*
Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*Sinh[4*ArcSinh[c*x]] + 12*b*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*ArcSin
h[c*x]*((576*I)*b*c*x - (576*I)*a*Sqrt[1 + c^2*x^2] - 144*b*Cosh[2*ArcSinh[c*x]] - (192*I)*a*Cosh[3*ArcSinh[c*
x]] + 9*b*Cosh[4*ArcSinh[c*x]] + 288*a*Sinh[2*ArcSinh[c*x]] + (64*I)*b*Sinh[3*ArcSinh[c*x]] - 36*a*Sinh[4*ArcS
inh[c*x]]) + 72*b*f^2*Sqrt[d + I*c*d*x]*Sqrt[f - I*c*f*x]*ArcSinh[c*x]^2*(60*a - (48*I)*b*Sqrt[1 + c^2*x^2] -
(16*I)*b*Cosh[3*ArcSinh[c*x]] + 24*b*Sinh[2*ArcSinh[c*x]] - 3*b*Sinh[4*ArcSinh[c*x]]))/(6912*c*Sqrt[1 + c^2*x^
2])

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.284, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left ( f-icfx \right ) ^{{\frac{5}{2}}} \left ( a+b{\it Arcsinh} \left ( cx \right ) \right ) ^{2}\sqrt{d+icdx}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((f-I*c*f*x)^(5/2)*(a+b*arcsinh(c*x))^2*(d+I*c*d*x)^(1/2),x)

[Out]

int((f-I*c*f*x)^(5/2)*(a+b*arcsinh(c*x))^2*(d+I*c*d*x)^(1/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f-I*c*f*x)^(5/2)*(a+b*arcsinh(c*x))^2*(d+I*c*d*x)^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (-{\left (b^{2} c^{2} f^{2} x^{2} + 2 i \, b^{2} c f^{2} x - b^{2} f^{2}\right )} \sqrt{i \, c d x + d} \sqrt{-i \, c f x + f} \log \left (c x + \sqrt{c^{2} x^{2} + 1}\right )^{2} -{\left (2 \, a b c^{2} f^{2} x^{2} + 4 i \, a b c f^{2} x - 2 \, a b f^{2}\right )} \sqrt{i \, c d x + d} \sqrt{-i \, c f x + f} \log \left (c x + \sqrt{c^{2} x^{2} + 1}\right ) -{\left (a^{2} c^{2} f^{2} x^{2} + 2 i \, a^{2} c f^{2} x - a^{2} f^{2}\right )} \sqrt{i \, c d x + d} \sqrt{-i \, c f x + f}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f-I*c*f*x)^(5/2)*(a+b*arcsinh(c*x))^2*(d+I*c*d*x)^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(-(b^2*c^2*f^2*x^2 + 2*I*b^2*c*f^2*x - b^2*f^2)*sqrt(I*c*d*x + d)*sqrt(-I*c*f*x + f)*log(c*x + sqrt(c^
2*x^2 + 1))^2 - (2*a*b*c^2*f^2*x^2 + 4*I*a*b*c*f^2*x - 2*a*b*f^2)*sqrt(I*c*d*x + d)*sqrt(-I*c*f*x + f)*log(c*x
+ sqrt(c^2*x^2 + 1)) - (a^2*c^2*f^2*x^2 + 2*I*a^2*c*f^2*x - a^2*f^2)*sqrt(I*c*d*x + d)*sqrt(-I*c*f*x + f), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f-I*c*f*x)**(5/2)*(a+b*asinh(c*x))**2*(d+I*c*d*x)**(1/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: TypeError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f-I*c*f*x)^(5/2)*(a+b*arcsinh(c*x))^2*(d+I*c*d*x)^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: TypeError